Analisi agli elementi finiti (FEM) della stabilità di un pendio

pendio

L’analisi agli elementi finiti della stabilità del pendio va vista come un’applicazione tra le innumerevoli possibili di un potentissimo strumento di calcolo, flessibile, versatile e naturalmente in un certo grado complesso: il metodo FEM.
Lo scopo fondamentale dell’analisi è di conoscere il campo di variazione di una certa funzione (funzione di collasso) all’interno del pendio, con tutte le variabili che la definiscono.
Date una certa geometria e una stratigrafia, si determinano i vettori che rappresentano spostamenti, tensioni…. in un numero praticamente indefinito di nodi del sistema e nelle condizioni effettive del pendio in esame.
Apposite modellazioni mettono in relazione deformazioni e “modificazioni” geotecniche dei terreni con quanto avviene ai nodi.
Conoscendo i valori delle funzioni significative ai nodi, sarà possibile integrare ogni grandezza necessaria in tutti i punti dei campi che costituiscono l’insieme.

All’interno del continuum, i nodi sono normalmente liberi: la loro posizione, determinata dagli eventuali spostamenti, è dipendente unicamente dal calcolo FEM, ovvero dalla geometria del problema e dalle caratteristiche dei materiali.
In altri termini, i nodi dotati di tutte le libertà sono in grado di assestarsi (traslare) a seconda della loro posizione all’interno del continuum e delle condizioni del pendio nel suo insieme.
Ai bordi del continuum i nodi possono essere invece liberi o vincolati. Nel caso in cui appartengano alla superficie superiore del pendio, o al bordo inclinato libero, il loro comportamento seguirà le stesse regole dei punti interni.
Quando i punti appartengono invece alla base o al contorno di terreno “eliminato” dal problema in quanto ininfluente, essi sono generalmente vincolati.
I vincoli, dal punto di vista del modello matematico esprimono come detto una limitazione delle libertà di traslazione.

In concomitanza di regioni delle quali si ritiene ininfluente il comportamento, in quanto sicuramente stabili (per esempio la presenza di un livello roccioso di base o di un livello stratigrafico compatto) si impostano vincoli bidirezionali (cerniere), ad una ragionevole distanza dalle superfici di frana invece si assegnano dei vincoli monodirezionali (carrelli).

I terreni, come ogni materiale ingegnerizzabile, sono modellati mediante opportune Leggi Costitutive, che mettono in relazione le caratteristiche di deformabilità con i limiti di resistenza, da intendere come soglie oltre le quali si ha il collasso.
Dal punto di vista teorico, nel caso di un continuum spaziale come i terreni, la rappresentazione della Legge Costitutiva avviene nel dominio sforzi – deformazioni, l’interpretazione avviene generalmente rispetto al contorno rappresentato nel dominio.
Il terreno all’interno del contorno si comporta in modo elastico, all’esterno in modo anelastico. La curva che delimita i due campi è detta Funzione di Snervamento.
Nel caso in cui si considerino all’interno e all’esterno valide le stesse relazioni, la Legge Costitutiva si dice associata. Una Legge di tipo associato comporta notevoli semplificazioni dal punto di vista computazionale, ma appare meno realistica.
Se all’interno del campo elastico valgono funzioni formalmente differenti da quelle valide all’esterno, la Legge Costitutiva è di tipo non associato.
La funzione più appropriata per i terreni risulta quella di Mohr Coulomb (Immagine 1) che, con opportune codifiche di calcolo, comprende ogni situazione reale.
Un problema di rappresentatività all’interno dell’Elemento Finito viene risolto introducendo i Punti di Gauss, che sono punti significativi nei quali si possono integrare le proprietà relative all’intero Elemento.

MOHR_COULOMB

 

Immagine 1

In altri termini, dati i 4 Punti di Gauss esistono soluzioni in forma chiusa rappresentative degli integrali di campo estesi all’intero Elemento Finito.
La trattazione delle condizioni di collasso geotecnico, non potendosi condurre per i punti (teoricamente infiniti) all’interno di ogni singolo Elemento, viene condotta nell’analisi FEM a livello dei 4 Punti di Gauss.

Con le tecniche numeriche proprie dell’analisi, quanto viene riscontrato ai Punti di Gauss viene successivamente ripartito in modo opportuno ai Nodi dell’Elemento Finito.

Attraverso la viscoplasticità si accumulano deformazioni e successivamente Sollecitazioni Fisiche (“body-loads”) che si sommano a quelle precedentemente calcolate. Queste Sollecitazioni Fisiche, calcolate per i Punti di Gauss, vengono subito ripartite ai nodi dell’Elemento.

Valutando in sequenza tutti gli Elementi Finiti, ciascuno con i propri Punti di Gauss, ai Nodi del Sistema Risolvente si accumulano deformazioni in aggiunta a quelle elastiche inizialmente calcolate.

Ogni Elemento che plasticizza produce in sovrapposizione delle deformazioni plastiche che vanno a sommarsi ai suoi nodi. Gli Elementi confinanti, attraverso gli stessi nodi, ricevono delle deformazioni che a volte sono compatibili con il comportamento elastico, a volte invece generano nuove plasticizzazioni.

Il calcolo iterativo  fa in modo che tutte le deformazioni che nascono nel modello FEM vengano riassorbite in continuazione dagli Elementi contigui.

Se questo si verifica, allora il pendio viene considerato complessivamente in equilibrio, nonostante le plasticizzazioni locali.
Se invece la generazione di deformazioni plastiche e relative Sollecitazioni Fisiche innesca un meccanismo che non mostra termine, ovvero gli altri Elementi non sono in grado di riassorbire le deformazioni viscoplastiche, il pendio si considera instabile a causa del collasso di un numero sufficientemente largo di Elementi.

Il Fattore di Sicurezza “FS” viene ricavato mediante una procedura detta c’-fi’ REDUCTION, ovvero i parametri c’ e fi’ vengono ridotti di un fattore (SRF) via via crescente sino a rottura, arrivati a rottura l’SFR corrispondente a questa condizione esprimerà il fattore di sicurezza.
Per questi metodi, la definizione di Rottura (ovvero quando si innesca il cinematismo di frana) più accreditata è rappresentata dalla non convergenza della soluzione numerica, cioè, quando in un prefissato numero di iterazioni l’algoritmo non è più in grado di convergere,  viene violato o il legame costitutivo o l’equilibrio,

A differenza dei metodi tradizionali (LEM), non si fanno ipotesi circa la forma e la posizione della superficie di scorrimento (la rottura avviene dove le tensioni tangenziali superano quelle limite).
Il terreno non viene suddiviso in strisce quindi non si fanno ipotesi di interfaccia (si fa notare che spesso tali ipotesi sono molto “marcate”). E’ possibile conoscere punto per punto lo stato tensionale e deformativo del terreno.

Utilizzando il software GFAS è stato risolto un caso di stabilità di un pendio le cui caratteristiche dimensionali sono riportate nell’immagine seguente.

Geometria_Pendio

Le caratteristiche elastiche e di resistenza del terreno sono :

Stratigrafia

E’ stata condotta un’analisi non lineare utilizzando la procedura c’-fi’ REDUCTION , le schermate dei risultati forniti in output dal programma si riportano di  seguito.

 

Risultati_FEM

 

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